Teoría de la Ley de Biot-Savart
Fundamentos matemáticos y aplicaciones de la ley que describe el campo magnético generado por corrientes eléctricas
Introducción
La Ley de Biot-Savart es una ecuación fundamental en el electromagnetismo que describe el campo magnético generado por una corriente eléctrica estacionaria. Fue descubierta por Jean-Baptiste Biot y Félix Savart en 1820, poco después de que Hans Christian Ørsted descubriera la relación entre la electricidad y el magnetismo.
Esta ley permite calcular el campo magnético producido por cualquier distribución de corriente, ya sea un alambre recto, una espira circular, un solenoide o configuraciones más complejas. Es una de las cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo clásico, junto con la Ley de Gauss para el magnetismo, la Ley de Faraday y la Ley de Ampère-Maxwell.
Formulación Matemática
Donde:
- dB es el elemento diferencial del campo magnético en el punto de observación
- μ₀ es la permeabilidad magnética del vacío (μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A)
- I es la corriente eléctrica que fluye a través del conductor
- dl es un elemento diferencial de longitud del conductor
- r̂ es el vector unitario que apunta desde el elemento de corriente hacia el punto de observación
- r es la distancia entre el elemento de corriente y el punto de observación
El campo magnético total se obtiene integrando esta expresión a lo largo de toda la trayectoria de la corriente:
Aplicaciones en Configuraciones Comunes
Para un alambre recto infinito que transporta una corriente I, el campo magnético a una distancia r del alambre es:
La dirección del campo magnético sigue la regla de la mano derecha: si el pulgar apunta en la dirección de la corriente, los dedos curvados indican la dirección del campo magnético alrededor del alambre.
Para una espira circular de radio R que transporta una corriente I, el campo magnético en el centro de la espira es:
La dirección del campo magnético es perpendicular al plano de la espira, siguiendo la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha curvan en la dirección de la corriente, el pulgar apunta en la dirección del campo magnético.
Un solenoide es una bobina cilíndrica con múltiples vueltas de alambre. Para un solenoide ideal (muy largo en comparación con su diámetro), el campo magnético en el interior es uniforme y está dado por:
Donde:
- n es la densidad de vueltas (vueltas por unidad de longitud)
- N es el número total de vueltas
- L es la longitud del solenoide
- I es la corriente que circula por el solenoide
En el exterior de un solenoide ideal, el campo magnético es prácticamente nulo.
Relación con otras Leyes del Electromagnetismo
La Ley de Ampère establece una relación entre la corriente eléctrica y el campo magnético que genera:
Esta ley es particularmente útil para calcular campos magnéticos en situaciones con alta simetría, como alambres rectos o solenoides. Para estas configuraciones, la Ley de Ampère proporciona una forma más sencilla de obtener los mismos resultados que se obtendrían aplicando la Ley de Biot-Savart.
De hecho, la Ley de Ampère puede derivarse de la Ley de Biot-Savart aplicando el teorema de Stokes.
La Ley de Biot-Savart es una de las cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo clásico, que junto con la Ley de Gauss para el magnetismo, la Ley de Faraday y la Ley de Ampère-Maxwell forman las ecuaciones de Maxwell:
| Ecuación | Nombre | Descripción |
|---|---|---|
| ∇ · E = ρ/ε₀ | Ley de Gauss | Relaciona el campo eléctrico con la carga eléctrica |
| ∇ · B = 0 | Ley de Gauss para el magnetismo | Establece que no existen monopolos magnéticos |
| ∇ × E = -∂B/∂t | Ley de Faraday | Describe la inducción electromagnética |
| ∇ × B = μ₀(J + ε₀∂E/∂t) | Ley de Ampère-Maxwell | Relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica y el campo eléctrico cambiante |
La Ley de Biot-Savart está contenida en la Ley de Ampère-Maxwell, que es una versión generalizada de la Ley de Ampère que incluye el término de desplazamiento de corriente de Maxwell.
Limitaciones y Consideraciones
- La Ley de Biot-Savart es válida únicamente para corrientes estacionarias (corrientes continuas que no varían con el tiempo). Para corrientes que varían con el tiempo, se deben utilizar las ecuaciones completas de Maxwell.
- La ley asume que el medio es el vacío. Si el campo magnético se calcula en un medio material, se debe considerar la permeabilidad magnética relativa (μr) del material.
- La ley no tiene en cuenta efectos relativistas. Para corrientes muy altas o partículas cargadas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, se deben utilizar las formulaciones relativistas del electromagnetismo.
- En la práctica, la integración de la Ley de Biot-Savart puede ser matemáticamente compleja para configuraciones no simétricas, requiriendo métodos numéricos para su solución.
Ejemplos de Aplicación
Calculemos el campo magnético a una distancia de 10 cm de un alambre recto que transporta una corriente de 5 A.
Datos:
- I = 5 A
- r = 10 cm = 0.1 m
- μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Aplicando la fórmula para un alambre recto:
El campo magnético a 10 cm del alambre es de 1 × 10⁻⁵ Tesla, dirigido tangencialmente a círculos concéntricos alrededor del alambre, siguiendo la regla de la mano derecha.
Calculemos el campo magnético en el centro de una espira circular de radio 5 cm que transporta una corriente de 2 A.
Datos:
- I = 2 A
- R = 5 cm = 0.05 m
- μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Aplicando la fórmula para una espira circular:
El campo magnético en el centro de la espira es de 2.51 × 10⁻⁵ Tesla, dirigido perpendicularmente al plano de la espira, siguiendo la regla de la mano derecha.